МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ПРИ ОТРАБОТКЕ
Для аналитического описания изменения надежности ЛК в целом, его составной части, основного или составляющего элемента, происходящего во время наземной, летной отработки или эксплуатации, необходимо получить соответствующие модели роста надежности. Понятие модели весьма многогранно, но в данном случае под моделью понимают аналитическое выражение или систему зависимостей, связывающих показатель надежности с каким-либо одним аргументом и несколькими параметрами.
Чтобы получить общность результатов, будем рассматривать как единое целое некий объект, имеющий показатель надежности Р, определяющий вероятность выполнения объектом какой-либо задачи во время испытания [например, вероятность безотказной работы в течение заданного времени, обобщенный показатель надежности ЛК (4.1)]. Полагаем, что необходимо найти модель, описывающую изменение показателя Р от времени. Для упрощения далее назовем P(t) надежностью объекта.
Обратимся теперь к исследованию причин изменения надежности. Среди рассмотренных в § 4.1 выделим главную — доработки конструкции и технологии производства или эксплуатации объекта. В такой постановке задача об изменении надежности объекта под действием проводимых персоналом доработок может быть отнесена к классу задач об изменении характеристик обучаемых или самообучающихся объектов. Действительно, есть некоторая аналогия между обучением биологических объектов (животных, человека) или кибернетических систем под действием каких-либо стимулов, вводимой экспериментатором (накапливаемой в процессе работы) информации и улучшением качества технического объекта под действием доработок. Дальнейший анализ покажет, что упомянутые физически отличные процессы могут иметь одинаковые формализованные схемы, как это часто случается при применении одинакового математического аппарата.
С начала 50-х годов развивается математическая теория обучения, или теория стохастических моделей обучаемости, довольно полно определенная впервые в работе Р. Буша и Ф. Мостеллера [И], а позднее — в трудах других специалистов [31. В 60-х годах подходы, предложенные в теории обучения, были использованы для получения моделей роста надежности при опытной отработке таких объектов, как ЛК или его составные части и элементы [40]. В 1967 г. автором были получены и исследованы более эффективные, чем предложенные в работе [40], модели роста надежности ЛК в ходе отработки, а в 1974 г. —• модели роста надежности ЛК в процессе его эксплуатации (см. § 4.3 и 4.4) [4, 17, 52].
Построение моделей роста надежности объекта при опытной отработке основано на анализе рекуррентного процесса, включающего в себя результаты последовательных испытаний, после которых в определенных условиях проводятся доработки, приводящие к изменению надежности. В зависимости от частоты и эффективности доработок рост надежности идет медленнее или быстрее. Подобная схема имеет место и при обучении биологических объектов. Например, группу крыс пускают по Т-образному лабиринту, при повороте в лабиринте налево крысы получают корм, который стимулирует их в последующих опытах чаще избирать путь по левой ветви. При этом обученность крыс, оцениваемая вероятностью выбора пути к корму, будет расти от опыта к опыту, качественно, так же как надежность ЛК, «обучаемого» надежности за счет доработок.
Сформулируем два очевидных, но весьма полезных при построении моделей свойства процесса роста надежности объекта при его испытаниях и доработках:
1. Надежность объекта может изменяться только после проведения доработки, причем в каждой доработке она может увеличиться, уменьшиться или остаться прежней.
2. Установление предполагаемых причин отказов и их устранение доработкой возможно после любого исхода испытания.
Первое свойство очевидно и не требует комментариев, но сформулировано оно потому, что в ряде предлагавшихся ранее моделей (см. [40]) факт изменения надежности объекта связывайся не с доработкой, а с использованием, т. е. предполагалось, что проведение испытаний вызывает рост надежности. Второе свойство обусловлено тем, что в каждом испытании, закончившемся как успехом, так и отказом, из-за большого объема измеренных параметров накапливается информация, которую можно использовать для проведения доработок, причем эти доработки по ряду организационных причин не всегда можно провести сразу же после испытания, в котором найдена причина отказов. В большинстве моделей, предложенных зарубежными специалистами, факт проведения доработки ставился в зависимость от наличия или отсутствия отказа в испытании. Заметим также, что второе свойство предполагает случайный (вероятностный), а не детерминированный характер обнаружения причин отказов и их устранения, т. е. допустимы ошибки в определении причин отказов, а следовательно, возможны и доработки, не изменяющие или снижающие надежность объекта.
Таким образом, процесс опытной отработки изделия является целенаправленным, но случайным. Поскольку ход отработки связан с последовательностью испытаний j = 1, 2, …. п, то удобнее рассматривать не случайную функцию P(t), a P(j)=Pj, зависящую от номера испытания. Если бы в нашем распоряжении имелись результаты большого количества опытных отработок одинаковых объектов в одинаковых условиях, то по реализациям случайной функции Р} можно было бы легко найти ее вероятностные или статистические характеристики.
Сложность рассматриваемой задачи заключается в том, что проводится отработка только одного изделия и один раз, т. е. известна только одна реализация процесса Р-г Последний является нестационарным и уже тем более не эргодическим, а поэтому по одной его реализации оценить какие-либо параметры процесса невозможно. Попытаемся, используя логико-вероятностные схемы, построить такую модель
процесса, которая бы привела к получению аналитической зависимости
Р} = Р(аи a2,…,akj), (4.14)
где «і, а2, …, ак — постоянные или случайные параметры.
При этом случайная функция Р} с одной известной реализацией заменяется с точностью, определяемой качеством модели процесса, функцией случайных или неслучайных аргументов, для которой известно п опытных точек, полученных в результате проведения п испытаний. Далее (4.14) будем называть моделью роста надежности объекта.
Приступим к построению модели. Выделим произвольное у’-е звено рекуррентного процесса отработки, включающее в себя исход испытания (успех или отказ) и следствие (проведение или отсутствие доработки). Указанным событиям соответствуют определенные вероятности: Pj — успех в у-м испытании; яь п2 — проведения доработки после успеха и отказа. После любого испытания могут наступить два несовместных следствия: проведение и отсутствие доработки, поэтому вероятность отсутствия доработки после успеха равна 1 — я*, а после отказа 1 — я2. Соответственно и приращение надежности за счет доработок после успеха составит А Ри, а после отказа — ДР2;, т. е. АР и ф АРг}.
Представим схему процесса (табл. 4.1).
Таблица 4.1
|
На рис. 4.2 показана структура ветвящегося процесса отработки объекта на у’-м шаге.
Рассмотрим зависимости изменения надежности ДPi}, AP2j, так как именно они определяют конечный вид выражения Ps (4.14). В соответствии с приведенным выше первым свойством процесса
АР^ ® 0; AP2J s 0. (4.15)
В [4, 11, 17, 40] показано, что наиболее удачны линейные конструкции, связывающие приращения надежности с достигнутой к /-му испытанию надежностью и параметрами модели аи а2, …, ah. Такие зависимости должны отражать повышения и понижения надежности объекта после доработки, т. е. выполнение условий (4.15), а также замедление прироста надежности с ее увеличением. В начале отработки легко обнаруживают большое количество дефектов, устранение которых заметно повышает надежность, затем число выявленных причин
отказов падает, так как остаются редко проявляющиеся дефекты и надежность растет медленнее.
/-е /-е (/ + 1)-е
pllj (*Л) |
испытание следствие испытание
Рис. 4.2. Ветвящийся процесс опытной отработки
объекта
С учетом сказанного в общем виде линейные операторы, определяющие приросты надежности, можно записать в виде
АРц = «1/(1 — Pj-і) — ЬиР,_й (4.16)
АР2] = «2/(1 — Pi-i) — b2jPj_u (4.17)
где а, ц, a2j — коэффициенты, характеризующие эффективность доработок, т. е. уменьшение оставшейся к/-му испытанию ненадежности 1 — Р)_й bij, b2J — коэффициенты, характеризующие негативность доработок, т. е. уменьшения достигнутой к /-му испытанию надежности
Рі-1-
Заметим, что использование линейных операторов (4.16) и (4.17) дает нелинейное изменение функции Р j, так как с увеличением достигнутой надежности ее приращения уменьшаются даже при постоянных коэффициентах. Выражения (4.16), (4.17), логика процесса, представленная табл. 4.1, и начальное значение процесса Р0 полностью описывают функцию Р}, которая отражает исходный случайный процесс.
Из рис. 4.2 видно, что в каждом сечении процесса существует конечное, хотя иногда и очень большое, число точек, в которые могут
прийти реализации процесса. При этом каждой точке отвечает определенная вероятность попадания в нее реализации, т. е. для каждого сечения существует распределение вероятностей. Однако, как было отмечено выше, при опытной отработке ЛК или его элементов и составных частей проводят одну реализацию процесса. В таком случае следует различать задачи получения модели реализации процесса и его математического ожидания.
Если отработка проведена и нужно статистически оценить ее ход, то необходимо использовать модель, которая бы хорошо отражала имевшую место реализацию процесса Pj, а если нужно прогнозировать ход процесса, то удобнее использовать модель математического ожидания МІРj этого процесса.
Проанализируем зависимости (4.16), (4.17) и табл. 4.1, описывающие формализованный процесс опытной отработки. Для получения значений функции Pj в любой точке необходимо знать начальное значение процесса Р0, являющееся вероятностью успеха в первом испытании, а также вероятности я,, л2 и параметры сщ, a2j, Ьц, b2j, т. е.
Pj = Pj(po> ЛЬ Л2, atj, a2j, bij, b2j j). (4.18)
Таким образом, если процесс содержал число испытаний n(j — 1, 2, …, п), т. е. п экспериментальных точек, то число неизвестных параметров, определяющих модель, т — 3 + 4п. Из основ математической статистики известно, что для оценивания функции, содержащей т неизвестных параметров, необходимо иметь опытных точек п»т, так как дисперсия оценок параметров обратно пропорциональна величине п — т и при п — т равна бесконечности. Следовательно, операторы (4.16), (4.17) описывают процесс достаточно полно, но такое описание не может быть практически использовано.
Заметим, что параметры о,;-, a2J, by, b2j отражают эффективность и негативность устранения причин отказов, т. е. зависят от оснащенности аппаратурой и оборудованием стендов или полигонов, а также квалификации и опыта персонала, ведущего отработку. Эти категории практически не изменяются при опытной отработке одного объекта, т. е. справедливо следующее допущение:
ац = ай а2] = а2, Ьц = Ьй Ъ2} ~ Ь2. (4.19)
При этом операторы (4.16), (4.17) упрощаются:
A Pij = с,(1 — Pj_i) — biPj.6 (4.20)
A P2j = а2( 1 — TV,) — b2Pj_u (4.21)
а функция (4.18) будет зависеть от семи параметров:
Pj = Pj{P0, Jit, п2, аи «г, Ьи Ь2, /). (4.22)
Процесс (4.22) может быть промоделирован или проанализирован и для него найдено рекуррентное нелинейное выражение математического ожидания в произвольном /-м сечении (см. [11, 171).
м [PUi] = ir202 — I — [iTjCj — r2c2 + 1—^2 (o2 + 62)1 M [Pj] — f
+ [П, к + *2) — *1 (0! + &,)] A42 [Pj]. (4.23)
Для частного случая, когда
Яі(оі + £>і) = я2(а2 + Ь2), (4.24)
можно (4.23) свести к линейному уравнению, что позволяет легко найти нерекуррентную зависимость математического ожидания процесса.
Условие (4.24) выполняется тогда, когда доработки с одинаковой вероятностью я — я і = я2 следуют как после успешного, так и неуспешного испытания; в этом случае приращения надежности равны (APj = APij — = AP2j) и процесс описывается одним оператором
APi = a(l-Pj_i)~bPJ_l (4.25)
и табл. 4.2.
т- Таблица 4.2
|
Для такой упрощенной модели математическое ожидание процесса в соответствии с (4.23) и (4.24) описывается линейным разностным уравнением
MPj+il = яа 4- Тэта — ла 4- 1 — я (а + Ь)МР,], или
МРиА — MPj = я а — я (а + b)MPj. (4.26)
Введем обозначения
Рос — а/{а 4- Ь), (4.27)
а — я а, (4.28)
при которых (4.26) принимает вид
М [Pj+1] — М [Pj] = а — аМ [Р}/Р„. (4.29)
Величина Р0о из (4.27) является предельным значением надежности объекта, которое может быть достигнуто при числе испытаний /-*- оо. Действительно, при b — 0, т. е. когда все доработки приводят только к приросту надежности [см. выражение (4.25)], при достаточно большом числе испытаний в принципе всегда можно получить Poo = 1; при Ь Ф
Ф 0 в среднем процесс стремится к асимптотическому значению а! (а + + Ь). Величина а = тса характеризует эффективность одной доработки с учетом вероятности ее проведения.
При построении модели роста надежности предлагалось, что все причины отказов устраняются доработками. Однако и при Ра, = 1 реальный объект может иметь действительную надежность, меньшую единицы, за счет старения, выработки ресурса и других причин, что должно учитываться в расчетах методами, рассмотренными в гл. 2.
Линейное разностное уравнение (4.29) при начальном условии МР0 — Р„ имеет следующее решение (см. [11, 17]):
М [Pj] = Ра,- (Ра, — Р0)( 1 — а/Ро, У. (4.30)
Решение уравнения можно получить и другим путем.
Разделим обе части (4.29) на А/ = 1:
AAf[P,]/A/ = a(l — /Р„)М[Р,]. (4.31)
Переходя к пределу при Д/-V 0, вместо полного точного разностного получим приближенное дифференциальное уравнение, описывающее математическое ожидание процесса:
dM [PjVdj » ~а (1 — И Ра,) М IPjl (4.32)
Уравнение (4.32) при начальном условии М[Р, = Р0 имеет решение
— (Poo — Р0)е~С"Я“. (4.33)
Заметим, что переход от решения точного разностного уравнения к решению (4.33) приближенного дифференциального уравнения соответствует замене
(1 — а/Ра,) «е а^Рт (4.34)
или
In (1 — а! Ра,) л* — a/Ра,.
Такая замена вызывает малые ошибки (не более 3%) при 0,8<С < с 1, что обычно выполняется в практических задачах.
Роо
Когда Poo = 1, выражения (4.30) и (4.33) упрощаются:
М IP,] = 1 — (1 — Р0) (1 — а)1, (4.35)
М IP,] =1 — (1 — Р0) е~ о/ . (4.36)
Таким образом, упрощенная модель процесса [см. выражение
(4.25) и табл. 4.3] приводит к описанию математического ожидания простой функцией от /, включающей в себя три (а, Р0, Роо) или два (а, Р0) неизвестных параметра.
Используя идею замены разностного уравнения дифференциальным, найдем решение нелинейного уравнения (4.23), не прибегая к довольно сильному допущению (4.24).
Введем обозначения
(3 — ttjGj jt2а2 + 1 — я2 (а2 ~Ь Ь. г);
= »ta (о2 + b2) — ttj (a, 4- by),
при которых (4.23) записывается в виде
М [PUl] — М [Р,] = г2а2-(]-ЩМ [Р}) + аМ2 [Р,]. (4.38)
Деля обе части (4.38) на А/ = 1 и переходя к пределу при Л/->-0, получим
dM [Pj]
dj
При начальном условии ЛДР0] = Р0 дифференциальное уравнение
(4.39) имеет решение (см. [И, 17]) «-
м [Pj] = JL 4- , (4.40)
2у. 2а 1 — Сер/
еде P=V (]—№ — 4к2а2а ■ С=[2«Р0 —(1—Р) —р]/[2аР0 —(1 — — Р) + рЬ
Таким образом, решение (4.40) является приближенным [при замене разностного уравнения (4.38) дифференциальным (4.39)] выражением математического ожидания процесса роста надежности, формализованного в рамках общей модели [см. (4.20), (4.21) и табл. 4.1].
В данном случае не удается оценить ошибку замены разностного уравнения дифференциальным, так как полное решение нелинейного разностного уравнения (4.34) отсутствует.
В пределе при /-> оо отношение (1 + Се?/)/(1 —Се*’) стремится к единице, поэтому предельная надежность, к которой сходится процесс, _
Роо » (1 — р — р)/(2а). (4.41)
Заметим также, что из (4.40) не может быть получено как частный случай при а — 0 (4.24), (4.37) решение (4.33), но при лі = я2 = 1; Яі = 0, я2 = 1 или лі = 1, я2 = 0 решение (4.40) справедливо.
Так, если доработки достоверно следуют только после успехов, т. е. Jtj = 1; я2 = 0; ал = а а2 = 0; bt = b] Ь2 = 0, то выражение
(4.40) упрощается:
М [Pj] » О. бРоо { 1 + [Р0 — (Р« — Р0) l[P0 + (Роо — Р0) Є""]} .
(4.42)
Полученные выражения (4.30), (4.33) или (4.35), (4.36), (4.40) и (4.42) описывают изменения математического ожидания процесса роста надежности при соответствующих схемах и параметрах моделей. На рис. 4.3 даны графики изменения математического ожидания MfPjl для различных моделей и исходных данных, приведенных в табл. 4.3.
Из графиков видно, что при малой начальной надежности быстрее растут кривые с высоким значением л2, причем из-за большей величины Лі эффективнее идет процесс, описываемый моделью (4.30). При большем значении Р0 эти различия сглаживаются, однако на рост надежности сильнее воздействует величина вероятности п. С увеличением вероятности л2 и уменьшением Я о кривые растут быстрее, так как при малом значении Р0 в начале процесса чаще возникают отказы, которые служат основным источником «обучения» объекта надежности (высока вероятность л2). Аналогией таких процессов является обучение человека на собственных ошибках. Если же человек имеет слабые навыки выполнения какой-либо работы и может их приобрести или развить только в результате удачного ее выполнения, то обучение пойдет медленно.
Значение вероятностей л4 и л2 зависит от информативности стендовых или летных испытаний объектов. Большой объем телеметрической информации (данные о возможных причинах отказа и доработках объекта) получают как при отказе, так и при успешных испытаниях, хотя неуспешные испытания несут большую информацию. Так, для летных испытаний ЛК можно принимать Лі = 0,35 0,70; л2 = 0,30 0,65,
а при стендовых испытаниях двигателей ЛА — — 0,2 — у — 0,5; л2 =
= 0,5 — г — 0,8 (см. [17]). Чем примитивнее оснащение испытаний аппаратурой и меньше опыт персонала, тем ниже значение вероятностей Лі и л2 и в особенности Лі. При экстенсивной отработке, когда источ-
никами информации о возможных причинах отказов служат только испытания, окончившиеся неуспешно, имеем эх, = 0. Использование же мощных измерительных комплексов и алгоритмов, позволяющих по измеренным характеристикам объекта прогнозировать возникновение неисправностей, приводит в пределе к равной (я4 = ji2) и достаточно высокой информативности каждого испытания с любым исходом. Рассмотренные три модели (4.40), (4.30) и (4.42) охватывают основные схемы ведения опытной отработки объектов.
Таким образом, для прогнозирования процесса изменения надежности ЛК или его элементов и составных частей, т. е. для описания математического ожидания процесса роста надежности, необходимо в соответствии с предполагаемым ходом процесса и данными, отражающими прежний опыт отработки подобных объектов, выбрать модель и значения соответствующих параметров, после чего расчет функции МРj становится элементарным. Следует понимать, что его точность зависит от того, насколько удачно выбрана "применяемая модель и подобраны исходные данные. Значительно точнее может быть решена задача, если имеются статистические данные о ходе процесса. Методы решения такой задачи будут рассмотрены в следующем параграфе.